## Monday, May 9, 2022

### Solutions To Fractional Calculus Problems

1) Let f(x) =  y =   3   - 3 2  +   5x  - 4

And: g(u) =  x =   u 2  +  u

Use the chain rule to show:  d y/ du =  dy/dx  (dx/du)

Soln.:  x =   u 2  +  u

But:  dy/ dx  =  2  -   6x  +   5

=>  3 (u 2  +  u) 2   -   6 (u 2  +  u)   +   5

dx/ du = 2u + 1

Then:  dy/dx  (dx/du) =

[3 (u 2  +  u) 2   -   6 (u 2  +  u)   +   5] (2u + 1)

2) Find the fractional derivatives: D 1/2  (x 0)  and D 1/2  (x 2)

Solns.:

D 1/2  (x 0 =    G(n + 1)/ G(n + 1 -  a)

so:

D 1/2  (x 0 =  G(0 + 1)/ G(0 + 1 -  ½)  = G(1)/ G( ½)

=  0.564

so:

D 1/2  (x 2 ) =  G(2 + 1)/ G(2 + 1 -  ½)  = G(3)/ G(2 ½)

=  1.505

3)  Find the fractional derivative: D 1/2  (sin (x))

Soln.

D a  (sin (x)) =   sin  (x +   a p / 2)    and:   a =   ½

So:  D 1/2  (sin (x)) =   sin  (x +   ( ½p / 2) = sin (x + p / 4)

4) Is D 1/2 (1)   the same as: q (1)/ [d(x - a) ]q

For q = 1 in the 2nd?  Explain.

Ans.

The two forms are the same provided:

i) The interval of interest a <  x  < b   is integrable. and

ii) The latter form is not confused with the Heaviside function for which:

f = 0,     ¥  <  x  <  a,  f = 1