## Monday, July 25, 2022

### Solutions To Line Integral- Work Problems

1) Let G(x,y) =  3   +   2xy +  2x    and:

x = 2t,  y =  t 2   Over:  (0  <  t   <  1)

Find the work done in going from A= 0  to B = 1 along the curve.

Solution:

The integral for evaluation is:

W  =   ò0 1    (3  +    2x) dx + (2xy) dy

dx =   2 dt    dy  =  2t dt

=    ò0 1    2(8 3    + 4t) dt   +  2 ( 4 3 )t dt

W =    4 4    +  4t 2 ] 0 1     +      2 4 0 1

W =     8  + 2   =  10

2) Two lines have direction cosines:

(1/2, Ö 6/ 4, - Ö 6/ 4 )  and (Ö 6/ 4, 1/4,  3/4)

Show they are orthogonal.

For orthogonality:

cos Θ   =   0   =    l1 l2+  mm2 +  n1 2

l1 l2+  mm2 +  n1 2   =

(1/2)(Ö 6/ 4)   +  (Ö 6/ 4)(1/4)  +   (- Ö 6/ 4 )(3/4)  =  0

3) Given the force (vector function):

F = i (2xy) + j (2  + 3y 2 ln z)  + k (y 3/z)

Find the potential function V from which F was derived.

Soln.

-  V / x   =   2xy

V / y     =  2  + 3y 2 ln z

-  V / z     =   y 3/z

dV  =  ( V / x) dx  +  ( V / y) dy   +  ( V / z) dz

So:   V =  ò (-  V / x) dx  + ò  (-  V / y) dy   + ò  (-  V / z) dz

V =  ò (- 2xy) dx  + ò  (- 2  + 3y 2 ln z) dy   + ò  (- y 3/z) dz

V =   2 y   -  y ln z  -  y ln z  =  2 y  -  2y ln z

4)Given a force: F = i (y + z) + (z + x)  + k (x + y)

Find the work done as the point of application moves from (0, 0, 0) to (1,1, 1):

(a) Along the straight line: x = y = z

Soln.

W  =   òC   (y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz

=    ò0 1    (2x) dx + (2y) dy + (2z) dz

= 1  +  1  + 1  =  3

(b) Along the curve: x = t,  y =  t 2   and z  =   t4

Soln.

dx = dt,    dy =   2t dt,   dz =   t 3 dt

=    ò0 1    (2  +  ) dt  +  2 (4   +  t t dt  + 4 ( t  +  2 ) t 3 dt

W  =  0.533  +   1  +  1.467  =   3

(c) Find the direction cosines of the line segment AB (e.g. from (0, 0, 0) to (1,1, 1) ) and the associated  respective angles: a, b,  g.

Soln.

l =  cos a   =  x2 -  x1 / ℓ  =  1/ Ö 3

m cos b   =  y2 -  y1 / ℓ  =  1/ Ö 3

u =  cos     z2 -  z1 / ℓ  =  1/ Ö 3

Thus:

cos a   cos b   cos   =  1/ Ö 3

a  = b  =   =  arc cos (1/ Ö 3) =  0.955 rad =  54. 7 deg