## Tuesday, July 12, 2022

### Solutions To Spherical Harmonics Applied To Electrical Potential Problems

1) P m     (cos q ) =  - 3/ 2  sin q (5 cos 2 q  - 1 )

If m =   1  and  ℓ = 3, show that the function is accurate.

Soln.: We may use:

ℓm (q )  =  (-1 ) m  sin m   d (m) [P    (cos q )]  / d (cos q)m

For    =3  and  m = 1 ,  so:

ℓm (q )  =   (-1 ) 1  sin 1   d (1) [P 3   (cos q )]  / d (cos q)1

And:  P 3   (cos q )  =  1/2  (5 cos 2 q  -  3 cos  q)

Hence  take: z  =  cos q  and substitute, viz :

d/ dz [P 3   (z)] =   d/ dz (5 z 2/2 -    3z /2 )

è

ℓm (q )  =   (-1 )   sin    (cos 2 q   -   3/2)

=  - 3 sin q/ 2  (cos 2 q   -  1) =  - 3/ 2  sin q (5 cos 2 q  - 1 )

2)Write the full Laplace equation in spherical coordinates for a homogeneous medium with magnetic permeability m  ,  permittivity econductivity, s    and frequency w.

For case in vacuo:
Ñ   V  =  0
Which in spherical coordinates becomes:
1/ r 2   /  r (2    V/ r  )

+ 1/( r 2 sin q  /  q (sin q   V/ q)  +  1/( r 2 sin q)     2 V/ j2     =  0

For homogeneous medium with magnetic permeability m  ,  permittivity econductivity, s    and frequency w.

Ñ   V  =     =   2   V  =    [ j  m (s  +  j  e)]  V

Where   g    =
Ö [ j  m (s  +  j  e)]  is the propagation constant

So that:

1/ r 2   /  r (2    V/ r  )   + 1/( r 2 sin q  /  q (sin q   V/ q)

+  1/( r 2 sin q)     2 V/ j2      =  [ j  m (s  +  j  e)]  V

3) We have:

d2 Q / d q  + cot q (d Q / d  q ) + (a2  -  m2/ sin2 q ) Q = 0

Where: a2    =  n(n + 1)

Then let:

x = cos q,  sin 2 q = 1 – x 2  ,    d/ dq  = - sin  q d/ dx

Then we rewrite the Legendre equation after subst. as:

( 1 – x d2 Q / d x   - 2x d Q / d x  + [n(n + 1)  m2/ 1 – x 2Q = 0