Solution to Nonlinear Alfven Waves Problem

 

Consider: b =  b ₀  f (z  -   v _f   t)

And:  v _f      >   0

 Let:  x =    (z  -   v _f   t)

0 =   dz/dt   - v _f          And:    v _f       = dz/dt

Insert in eqn.

+  B ₀ / Ö m ₀ r ₀    (¶b / ¶z  -  ¶b / ¶t)  =  0

Whence:   ¶b / ¶z  = ¶b / ¶ x (¶r / ¶z) =    ¶b / ¶x

And:  ¶b / ¶t  =    ( ¶b / ¶x ) (- v _f )

 

¶b / ¶x [ +  B ₀ / Ö m ₀ r ₀    -  (- v _f )]  = 0

Then:  z^ v _f   = +  B ₀ z^ / Ö m ₀ r ₀   

v _f   = +  B ₀  / Ö m ₀ r ₀