The Quantitative Formulation of Nonlinear Alfven Waves From Two Fluid Eqns. (Conclusion)

  We begin by substituting the  U _e  and U _i equations  into the equation for B”_y”

B”_y    =  4 p e ²/ m _i m_e [ - B_y  (B_y  ²  +   B_z ² ) /8 p   

+ (P -  B_o ²  /4 p ) B_y  - B ₀ c₁ F  -( m_i ² -  m_e ²) B_o  B’_z / 4 p e m _t      

B”_z    = 4 p e ²/ m _i  m_e  [ - B_z  (B_y²  +  B_z ² ) /8 p   

+ (P -  B_o  ²  /4 p ) B_z  - B ₀ c₂ F  - ( m_i ² -  m_e ²  ) B_o  B’_y / 4 p e m _t     

We can now write the potential part (y) of the force field:

y  = 4 p e ²/m _i  m_e  [(B_y²  +  B_z ² ) ²  /32 p -

(P -  B_o ²  /4 pm )(B_y²  +  B_z ² )/2 + B ₀ F  (c₁ B_y    +  c₂ B_z  )]

m ²    =    e ( m_i  -  m_e  )/m _i  m_e  

We next write eqns. for B”_y    and B”_z      in simpler form:

(IX) B”_y    = - ¶ y  / ¶ B_y   -  m ²  B_o B’_z

(X) B”_z    = -  ¶ y  / ¶ B_z   -  m ²  B_o B’_y

Since: B  =  (B_o , B_y,  B_z  )

B” _^  = - Ñ_B  y  +  (m ²  B_o x  B _^)

                                 {                       }

                                 Velocity-dependent force

Now multiply: B’ _y   x  eqn. (IX)  and B’_z   x  eqn. (X) :

 è   

B’_y  B” _{y     +}  B’_z B”_z         =   - U dB _y /dx  (¶ y  / ¶ B_y )  - U dB_z /dx  (¶ y  / ¶ B_z )  

And:    ½ U d/dx (B_y  ²  +   B_z  ² )  =   - U d y /dx

->

½ (B’_y  ²  +   B’_z  ² ) +  y  =   const.   =  e

Now take:   B_y  x  eqn. (X)  and:   B_z  x  eqn. (IX) 

->

(- B_y  B”_z   +  B_z  B”_y )  -   B _y (¶ y  / ¶ B_y )  +  B_z (¶ y  / ¶ B_z )  

+   m ²  B_o   (  B_y  B _{y     +}  B_z B’_z   )      =   0

=   m ²  B_o  U/2  d/dx (B_y  ²  +   B_z ² ) 

 

Whence:

B_z  B”_y   -  B_y  B”_z    =  B_z  B”_y   + B’_z  B’_y  -  B’_z  B’_y  -  B_y  B”_z   

=  U d/dx (B_z  B’_y  -  B_y  B’_z  )

Then:  B_z (¶ y  / ¶ B_z )  -  B _y (¶ y  / ¶ B_y )   =

-         4 p e ²/ m _i  m_e  [  - B_z  B _y (B_y  ²  +  B_z  ² ) /8 p   + (P -  B_o  ²  /4 p ) B _y B_z  -

-         B ₀ c₁ F  B_z  ]  +  4 p e ²/ m _i  m_e  [ - B_z  B _y (B_y  ²  +  B_z  ² ) /8 p   +

 (P -  B_o  ² /4 p ) B _y B_z  - B ₀ c₂ F  B_y]   =  4 p e ² B ₀ F  / m _i  m_e  [c₁  B_z  - c₂ B_y] = 0

So:    [c₁  - c₂ ] = 0

Leading to three new equations:

(XII):     B_z  B’_y   -  B_y  B’_z    +  m ²  B_o   /2 [(B_y  ²  +   B_z  ² )] = const. = L

 We then let:   B _y =   B cos q   ,  B _z =   B sin q  

à 

 (XIII):     ½ (B’ ²  +   B ² q’ ² ) +  y (B) =   const.   =  e    

(XIV):  (m ²  B_o   /2     +  q’ ) B ²    = L

 Using the above we rewrite the potential field as  y (B) :

y (B)  = 4 p e ²/ m _i  m_e  [B ⁴ /32 p   -  (P -  B_o  ²  /4 p )]

=  (4 p e ²/ m _i  m_e )  B   /2  [B ² /16 p   -  (P +  B_o  ²  /4 p )]

 

Observations:

a)  No solution in which   q’ , B = const. (  0) gives linearly polarized Alfven waves.

b) However, solutions exist in which  q’ , B = const. (  0) gives circularly polarized Alfven waves.

c) From this we can deduce a nonlinear Alfven wave velocity:  

U =   B_o  / Ö4 pr 

Eliminating  q’  from eqns. (XIII) and (XIV):

½ B’ ²  +  F ₁  =    e ₁    = const.

F ₁  =    L ² / 2 B ²     +   m ⁴  B_o ²   B ²   /8     +   y (B)  

e ₁    =    m ²  L B_o ²  /2

d) Then a soliton solution is possible if:   e = L   = 0, and e ₁  =  0

And, finally:

F ₁  =  2 p e ²/ m _i m_e [ B ⁴ /16 p  -  (P -  B_o²  /4 p ) B ²  ]  +

m ⁴  B_o ² B ² /8 ) (m_i m_e/ /2 p e ² ) B ²  ] 

~    

2 p e ²/ m _i m_e [ B ⁴ /16 p  -  (P -  B_o²  /4 p -  B_o ²/16 p (m_i / m_e/) B ²  ]  

 And with a certain choice of parameters we find a soliton shock profile, i.e.

For which: ½ B’ ²  +  F ₁  =  0

If, under certain choice of parameter values, one finds F  is possible (with the shape above) then soliton solutions can arise, e.g.