The Quantitative Formulation of Nonlinear Alfven Waves (Part 2b): Derivation of Ram-Magnetic Pressure Eqn.

We left off multiplying:   å n_s      by Eqn. (ii)a

->  å n_s  m_s U_s   (d U _s  / dx)    =    å n _s q_s, (V_s  B _z -  W_s B _y )

 

-> F  å m_s (d U _s  / dx)    =    å n _s q_s, V_s  B _z    - å n _s q_s,  W_s B _y

Then:  

F  m _z  (dU  / dx)    =  - 1/4 p  B _z (d B _z / dx) - 1/4 p  B _y (d B_y / dx)

->  d / dx  (F  U ) =  - 1/8 p   d/dx  (B _z  ² +   B_y  ² )

F  U  +   (B _z  ² +   B_y  ² ) /8 p     =    const.  = P

Where the first term on the left is the ram pressure and the 2^nd term is the magnetic pressure.   

 To derive the previous eqn.  multiply:    å n_s      by Eqn. (ii)b

->  F  å m_s (d U _s  / dx)   =    1/4 p  B ₀ (d B _y / dx)

1/ m_t (å m_s U _s  -   1/4 pF     [B ₀ B _y  ] = const.  =   c ₁

Now multiply:    å n_s      by Eqn. (ii)c

->   1/ m _tå m_s W _s  -   [B ₀ B _z  ] /4 pF      =   c ₂

m_i / m _t   (U _i )   + m_e / m _t   (U _e )    =  c ₁  + [B ₀ B _y  ] /4 pF      

->  m_i / m _t   (W _i )   + m_e / m _t   (W _e ) =   c ₂  + [B ₀ B _z  ] /4 pF      

Now:   4 p e F  (B”_y)=   1/4 p (1/ N _e ) (d B _y / dx)

     U _i   -   U _e   =   - 1/4 p (1/ N _e ) (d B _z / dx)

  And:   W _i   -   W _e   =  1/4 p (1/ N _e ) (d B _y / dx)

We will use the following Roman-numerated eqns. to get the result:

(I):   U _i    = c ₁  + [B ₀ B _y  ] /4 pF    - m_e /4 p e F   ( U ) (d B _z / dx)

                                                             {       B _z          }

(II)         U _e    = c ₁  + [B ₀ B _y  ] /4 pF    - m _i /4 p e F    (dB _z /dt )

(III): W _i   = c ₂  + [B ₀ B _z  ] /4 pF   +   m_e /4 p e F  (dB _y /dt )

 

(IV): W _e   = c ₂  + [B ₀ B _z  ] /4 pF   -   m _i /4 p e F  (dB _y /dt )

 

To obtain the equations with B only we must take the derivatives of the velocities, i.e.

(V): dU _i /dt =    B ₀ /4 pF  (dB _y /dt)  -  m_e /4 p e F  (B” _z )

(VI):  dU _e /dt =    B ₀ /4 pF  (dB _y /dt)  +  m _i /4 p e F  (B”_z )

(VII): dW _i  /dt   = B ₀ /4 pF   (dB _z /dt )  +   m_e /4 p e F  (B”_y)

(VIII): dW_e  /dt   = B ₀ /4 pF   (dB _z /dt )  -   m _i /4 p e F  (B”_y)

 

NOTE:   B”_y =  d/dt (dB _y /dt )  =  U (d/dx) U  (d B / dx)

 

From (VII)  and (VIII):

 

B”_y =    4 p e F / m _t   (dW _i / dt -   dW _e  /dt)

 

=      4 p e F / m _t   [e/ m _i ( UB _y  - U _i B ₀) + e/ m _e ( UB _y  - U_e B ₀)]  

(Using  Eqn., (ii)c)

Then we have from the ram -magnetic pressure equation:

U  =  1/ F   (P -   (B_y  ²  +   B_z  ² ) /8 p     

 

(To be continued)