Complex Fourier Series Solutions

  1)  For the function:

f(t)  =   {0    for  h <  t <   2p    

         =   {1  for    0  <  t  <   h 

Over 0 < t   <    2 p        h >  0  

Give a simplified expression for the associated Fourier coefficient if:    c _n  =  1/2 p  ò ^2p  ₀   f(t)  exp (-int) dt  

= 1/ 2p ò ^2p  _h    e ^{- int}  dt  

Solution:

c _n    =   1/ 2p ò ^2p  _h    e ^{- int}  dt   =   1/ 2p (1/ -in)  e ^{- int} ] ^2p _h  

 = 1/ -2p in  [e ^{- i2n p}  -  e ^{- inh} ]

c _n    = i/ 2pn  [1   -  e ^{- inh} ]

2) F₊ (k) =  Ö (2/  p )    ò ^¥ ₀    f(x) exp (ikx) dx

Find F₊ (k)   for:   x ^N e ^-x   

^{(N an integer)} 

 Solution:

F₊ (k) =  Ö (2/  p )    ò ^¥ ₀    x ^N e ^-x   e ^ikx dx

By Euler's formula:   e ^ikx  =  cos kx + i sin kx, so we can substitute the imaginary part, i.e. Im (e ^ikx )  = i sin kx into the integral to obtain:

 F₊ (k) =  Ö (2/  p )   i ò ^¥ ₀    x ^N e ^-x   sin kx dx  

From CRC Mathematics Tables we find:

ò ^¥ ₀    x ⁿ e ^-ax   sin (bx) dx =

i Ö (2/  p )   n! [(a +ib) ⁿ⁺¹   + (a - ib) ⁿ⁺¹]/ 2i (a ²  + b ²) ⁿ⁺¹ 

Then with a = 1, b = k, n = N:

i Ö (2/  p ) ò ^¥ ₀    x ^N e ^-x   sin kx dx   =

i Ö (2/  p )   N! [(1 +ik) ^N+1   + (1 - ik) ^N+1]/ 2i (1  + k ²) ^N+1 

F₊ (k) =  (2/  p ) {  n! [(1 +ik) ⁿ⁺¹   + (1 - ik) ⁿ⁺¹]/ 2i (1  + k ²) ⁿ⁺¹