Solving More Difficult Partial Differential Equations (Part VI): Charge Distribution In 3D Box

Suppose u is a function of 3-space:  u = u(x, y, z)

We can write the Laplacian:

Ñ ² u   =   ¶ ² u/ ¶ x²   +   ¶ ² u/ ¶ y²   +  ¶ ² u/ ¶ z²  

The configuration used is shown below:

                                                                

For which we propose conditions:

u (0, y, z) =  u (p  , y,  z)

u (x, 0 , z) = u (x, p , z)

u (x, y, p)  = 0

I.e. we specify u to be some distribution of charge  in a volume, say a cube.

Proceeding: Let

u(x, y, z) =  X(x) Y(y) Z (z)

Þ

X''/ X  + Y''/Y =  - Z''/Z =   c ₁

Þ

X''/ X  =   (c ₁   -   Y''/Y) =   c ₂

Þ

X''-    c² X  = 0   And:   Y' -  (c ₁   -  c ₂  )Y =   0

And:  Z'' +   c ₁ Z  = 0   (write: c²   =  - n ²    n ≠  0 )

X' (x) =  A cos nx + B sin nx

u(0, y, z)  Þ   X(0) = 0   Þ A = 0

So: X (x) = B sin nx

For y:  Y(y) = C cos my + D sin my

Further: u (x, 0 , z) = 0   Þ Y(0) = 0   Þ  C = 0

Then: Y(y) = D sin my

c ₁   = - n ²    - m ²  = -  ( n ²  +  m ²  )

So that for Z'':

Z''  -   ( n ²  +  m ²  ) Z = 0

Z(z)  =  E exp (Ö( n ²  +  m ²  ) Z + F exp (- Ö( n ²  +  m ²  ) Z 

Thence: u (x, y, p)  = 0  Þ  Z (p) = 0

 Z (z) =  E exp (az)  +  E exp (- az)  =  0

Multiply through by:  2 exp (ap) 

E exp (2ap)  +  F = 0  

F = - E exp (2ap)   Þ

Z (z) =  E {exp (az)  -   exp (- az) [E exp (2ap) ]}  etc.

Leading to final soln.:

Z _nm (z) =  G _nm sinh Ö( n ²  +  m ²  ) ( p - z )

yielding:

u _nm  =  a _nm sinh Ö( n ²  +  m ²  ) ( p - z ) sin nx sin my

\   u (x, y , z) = 

å^¥ _n=1  å^¥ _m= 1 a _nm sinh Ö( n ²  +  m ²  ) ( p - z ) sin nx sin my

For Z= 0:   u (x, y , z) = 

å^¥ _n=1  å^¥ _m= 1 a _nm sinh Ö( n ²  +  m ²   p) sin nx sin my

 ^With: 

 a _nm sinh Ö( n ²  +  m ²  p)  = d _nm  =  

4/p ²  ò ^p _o ò ^p _o g(x,y) sin nx sin my dx dy

Finally:

u (x, y , z) = å^¥ _n=1  å^¥ _m= 1  d _nm sinh Ö n ²  +  

m ²   (p -z) sin nx sin my/  sinh Ö n ²  +  m ²   (p)