Monday, March 21, 2022

Fourier Transform Problem Solution

 ProblemFind the Fourier transform of:  

f(x) =  exp(-  2) cos  x


Solution:

F(k)  = F{f(x)} = 1/ Ö p     ò ¥-¥    (exp(-  lx 2) (cos  x)  exp (ik x )  dx  

Replace cos  x  with Re exp (i  x)

F{f(x)} = 1/ Ö p     ò ¥-¥    [exp(-  lx 2) exp (i  x) ]  exp (ik x )  dx  


=   1/ Ö p     ò ¥-¥    [exp(-  lx 2) exp (ix ( +  k) ]  dx  

Rewrite the exponents of e in the integrand: 

 -  lx 2  +   ix (k  +  b) =  - (x (Ö l    -    i (k  +  b) / 2 Ö l2  -  (k  +  b) 2 / 4 l

Change the variable such that:

u   =    x (Ö l   -    i (k  +  b/ 2 Ö l)   

Whence: 

 F(k) =  1/ 2 Ö(  p l)   exp  -(k  +  b) 2 / 4 l  ò ¥-¥    exp  (-u2 )  du


Where the definite integral:

ò ¥-¥    exp  (-u2 )  du   =    Ö p

Yielding:  

F(k) =  1/  Ö (2 p l)   [exp  -(k  +  b) 2 / 4 l]  (Ö p )

=  1Ö ( 2 lexp  -(k  +  b) 2 / 4 l 

No comments: