Solutions to Quantum Mechanics Problems

 Solutions to the state function problems from last week:

1) Given eigenvalues a_n  and eigenvectors u_n of the operator  A^   find the eigenvectors if:

A^  is of the diagonal form (e.g. for the matrix)

 (a₁ …….0)

 (0……  a₂)

Solution:

| u₁ >   

u₂ >   

2)  In a quantum mechanics exam a student writes for the normalization condition:< y | y > =    ò |< y | x >| dx =       1

Rewrite the above equation as it should be given

Solution:

< y | y > =   ò < y | x ><x |y > dx =     ò |< y | x >|²  dx =    1

3) Prove that the eigenvalue a  for an observable operator A^  is real.

Solution:

If a is any eigenvalue of  A^ then:

A^ | a >  =    a| a >

A^ (x , ¶ / ¶ x) <x| a >   =    a<x| a >

Then we can multiply  by <a | x > and integrate:

ò <a | x > A^ (x , ¶ / ¶ x) <x |a > dx =  a ò <a | x ><x |a > dx

Note the left hand side is real and <a | a >  is the normalization integral, which is real by def.  Hence, a is real.

4) Let a₁  and  a₂  be different eigenvalues of  A^ .   Find: 

A^ | a₁ >  and A^ | a₂ >  and thence show:

<a₁| A^ |a₂ >    =   a₂ <a₁ | a₂  >

Solution:

A^ | a₁ >  =       a₁ | a₁ >

A^ | a₂ >  =       a₂ | a₂ >

Then:

<a₂| A^ |a₁ > =  a₁ <a₂ | a₁  >

<a₁| A^ |a₂ >    =  a₂ <a₁ | a₂  >

Taking the complex conjugate and using:

< y |A^ |y > =   < y |A^ |y >*

So:

<a₁| A^ |a₂ >    =   a₂ <a₁ | a₂  >

5) Show that u(x) = exp -(½x ²)   is an eigenfunction of the operator:

A^ (x , ¶ / ¶ x)  =  ( ¶ ² / ¶ x²   -  x² )

Solution:

A^ (x , ¶ / ¶ x) u _n(x)    =   a_n  u _n(x)

So:

( ¶ ² / ¶ x²   -  x² ) exp -(½x ²)   =   a  exp -(½x ²)   

x ²   exp -(½x ²) -   exp -(½x ²) -  x ²   exp -(½x ²)  = a  exp -(½x ²)  

-   exp -(½x ²)   =  a  exp -(½x ²)  

Then:  a = -1