Math Solutions (Part I)

1     1)Given the function: u(x,y) = x³ – 3xy²

 

Show the function is harmonic on the entire complex plane.

 

The Cauchy- Riemann equations are:

 

¶ u/ ¶ x  =   3 x² – 3y²

 

¶ u/ ¶ y     =  - 6xy

 

And also:   ¶ ² u/ ¶ x²  =   6x

 

And:  ¶ ² u/ ¶ y²  =   - 6x

 

 

Since:    ¶ ² u/ ¶ x²  +  ¶ ² u/ ¶ y²    =  6x + (-6x) = 0

 

It’s clear u(x,y) and its derivatives are everywhere continuous on the whole complex plane.

 

2) Given the function: u(x.y) = exp(-x) [x sin y – y cos y]

 

¶ u/ ¶ x  =   exp(-x) (sin y) +  (-exp(-x)) [x sin y  – y cos y]

 

= exp(-x) (sin y) -  x exp(-x) sin y + y (exp(-x) ) cos y

 

¶ ² u/ ¶ x²    =   ¶ / ¶ x  [exp(-x) (sin y) -  x exp(-x) sin y +

y (exp(-x) ) cos y]

 

=  -2 exp(-x) sin y + x exp(-x) sin y - y (exp(-x) ) cos y

 

 

AAlso:  ¶u/ ¶ y  =    exp (-x) (x cos y + y sin y – cos y) =

 

x exp (-x) cos y + y (exp(-x) sin y -  exp(-x)  cos y

 

¶ ² u/ ¶ y²    =  ¶ / ¶ y [x exp (-x) cos y + y (exp(-x) sin y -  exp(-x)  cos y]

 

= -  x exp(-x) sin y  + 2 exp(-x) sin y +  y (exp(-x) ) cos y

 

So that: ¶ ² u/ ¶ x²  +  ¶ ² u/ ¶ y²    =   0

 

And the function u(x,y) is harmonic

 

(To be continued.)