Solutions To Radio Astronomy Plasma Physics Problems

 1) Substitute  the values for   vx , v y  and  vz    earlier obtained into equations (1),  (2) and (3) giving Maxwell's  curl H equation in terms of rectangular components to get the 3 resulting plasma frequency equations. Then show if the frequency is much greater than the gyrofrequency,  i.e.

 

w  >>  w g 

All the equations become identical in form

Solution:   The equations are:

^{1)  (Ñ x H)} x  =  Ne vx  +   j w ε_o Ex  

^{2)  (Ñ x H) y  =}  Ne v y  +   j w ε_o Ey  

^{3)  (Ñ x H) z  =}  N e vz  +   j w ε_o Ez  

And we know:

vx = { j  (m w /q) E x  + E y B z}/ B z ² -  m ² w ² /q ²

vy = { j  (m w /q) E y  + E x B z}/ B z ² -  m ² w ² /q ²

^{vz = - j q E}z  /m w

Substitute the v's into the correct equations (1), (2) and (3), and let q = e  ( 1.6 x  10^-19 C ) to get:

^{1b)  (Ñ x H)} x  = 

Ne {j  (m w /q) E x  + E y B z}/ B z ² -  m ² w ² /e ² }  +     j w ε_o Ex  

^{2b)     (Ñ x H) y  =} 

 Ne { j  (m w /q) E y  + E x B z}/ B z ² -  m ² w ² /e ²  }    +   j w ε_o Ey  

^{3b)  (Ñ x H) z  =}  Ne (^- j e Ez  / m w)   +   j w ε_o Ez  

After some algebra, we obtain:

^{(Ñ x H)} x  = 

  j w ε_o  E x   [1 + Ne ²  /ε_om ( w g ²     - w ²)] 

+  NE y q ²   w g  /ε_om ( w g ²     - w ²) 

 

^{(Ñ x H)} y  = 

 j w ε_o  E y   [1 + Ne ² /ε_om ( w g ²     - w ²)]  

-    NE y q ² w g  / m( w g ²     - w ²) 

^{(Ñ x H)} z  =

j w ε_o  E z   [1 -  Ne ² /ε_om w ^2]

Now, assume:      

w  >>  w g 

Then we see: 

^{(Ñ x H)} x  = 

  j w ε_o  E x   [1 + Ne ² /ε_om ( w ²)] 

^{(Ñ x H)} y  = 

 j w ε_o  E y   [1 + Ne ² /ε_om ( w ²)]  

^{(Ñ x H)} z  =

j w ε_o  E z   [1 -  N e ² /ε_om w ^2]

I.e.  All the relations become identical in form.

2) The Earth's ionosphere has a plasma number density of  

 10 ¹²     electrons per cubic meter.  Find the (critical)  radio frequency of this source.  

Solution:

The critical frequency is given by:

f _o     =   9 Ö N

Where N  = 10 ¹²     

Then:  f _o     =   9 Ö 10 ¹² 

=   9  x 10 ⁶   cycles per second   

Or:   9 MHz