Deriving the Landau Damping Rate Of an E-Field (2)

We left off with: 

x(t')   =   x _o   +  ò ^t’ _o v (t") dt"

 

 Now define:

d v(t’)   =    v(t)  -   v _o  =  (-e)E o/ m _e  ò ^t’’  _o    dt’ sin kx (t’)

 

è

d v(t’)   =    v _o  -  (-e)E o/ m _e  ò ^t’’  _o    dt”’ sin kx (t’”)

Where:  x   =   x _o   +  v _o  (t"’) 

 

v   (t") =

v _o  +  (e)E o/ m _e  k v _o  [ cos(kx _o) + k v _o t”) - cos(kx _o)]

And the next to last integration yields:

 

x (t’)  = x _o   +  v _o  t’  -  t’ eE o/ m _e  k v _o  cos (kx _o)

+  (e)E o/ m _e  k ² v _o ² [sin (kx _o) + k v _o t’) – sin (kx _o)]

Note the first integrand is of the form:

sin (kx _o) + k v _o t’)   +    D^{^} ]

 

Where: 

D^{^}   =    t’ e E o/ m _e v _o  cos (kx _o) 

+ eE o/ m _e  k v _o ²   [sin kx _o) + k v _o t’)  -   sin kx _o]

Given we seek the lowest order correction to E o  we can use Taylor expansion  of the form:

sin (a +  D^{^})  =  sin a  +   D^{^} cos a

to lowest order in D^{^.}    Then:

 

d v(t)   =  

- e E o/ m _e   ò ^t’  _o dt [D^{^}cos (kx _o) + k v _o t’)

 +   sin (kx _o + k v _o t’)]

 

We then average d v   over one wavelength upon which the sine term disappears.  The other terms are evaluated using the identities:

<sin (u – a) cos (u – b)>_u  =   -  ½  sin (a- b)

<sin (u – a) sin (u – b)>_u  =  <cos (u – a) cos (u – b)>_u  =

½  cos (a - b)

Where < > means an average over one period of the variable u.  From this we find:

<d v(t) )>_u   =  

 (e E o/ m _e ) ²  k/2 ò ^t’_o    dt’ {- 1/ k²  v _o ²   sin (k v _o t’)  +

t’/ m _e  k v _o   + cos (k v _o t’) 

Integration yields:

<d v(t) )>_u   =   (e E o/ m _e ) ²  ½ k²  v _o ²   | 2 | cos (k v _o t) –

1] +   k v _o t  sin (k v _o t) ]

 (To be continued)