Monday, May 18, 2020

Solutions To Vector & Solid Geometry Problems

Vector problem solutions (From May 14 post):


1)      For two vectors A = 3i – 4j and B = -i – j, find the magnitude and direction of: 

 B,  and   – A.


Solns (a).;  A + B =   (3i - 4j) +   (-i  -j)  =     2 - 5j    with magnitude:  Ö {(2)   + (-5) 2}   =     Ö 29   and direction - 68.2 deg with respect to  +x- axis.

(b): - A =     (-i  -j)  -  (3i - 4j)  =     - 4 + 3 j   with magnitude:  Ö {(-4)   + (3) 2}   =     Ö 25   and 

direction - 38.6 deg with respect to the   - x  - axis.


2)  Using the method of components, find the vector sum of the two vectors A and B if makes an angle of 45 degrees with the x-axis and has a length of 6 units, and vector B makes an angle of 135 degrees with the x-axis and has a length of 8 units.


Soln.  We know:  A x   =   A cos q  ,   A y   =   A sin q  ,  


A x   =   6  cos 45   =   6 Ö2  ,  A y   =   6 sin 45 o     = Ö2   
  
Also: B x   =   B cos q ,   B y   =   B  sin q
  
Whence:


B x   =   8   cos 13  =   - 8  Ö2  ,  B y      8  sin 13o     = 8  Ö2  

  

3) For the 3D rectangular box shown earlier, e.g.



For which: T  =  a    + b j   +   c k,  and assuming  sides a = 6,    b = 3, and c = 2  :



a)Find the direction cosines.

cos a   =  a /  Ö (a   +  b  +   c   )  =    6 /  Ö (6   +  3  +   2   )

=    6 /  Ö (36   +  9   +   4   )  =  6 /  Ö 49  = 6/7 =  0.857


cos b    =  b /  Ö (a   +  b  +   c   )  =  3 / Ö (6   +  3  +   2   ) 

=    3 /  Ö (36   +  9   +   4   )  =  3 /  Ö 49  = 3 /7 =  0.429


cos  g   =  b /  Ö (a   +  b  +   c   ) =   2 /  Ö (6   +  3  +   2   )

=    2 /  Ö (36   +  9   +   4   )  =  2 /  Ö 49  = 2 /7 =  0.286


b) Show that:  cos    +    cos  b    + cos  g   =     1

I.e.

 (0.857) 2  +   (0.429)2   +  ( 0.286)2   =     1

No comments: