Examining Quantitative Aspects of The Pressure Stress Tensor

 

Consider a fluid pressure defined by:

Where     is the stress tensor.  If one has an ideal fluid (no shear stress) then:

                                                    =     =    

         =        

OR: 

     =           

where:   

     =     n  × ds

Now use Gauss’ law to write:

         =

                 

Where  

  is the force per unit volume (stress-related term).  Note we have symmetric and anti-symmetric parts.

For the symmetric part:

(Ñ v) _s =  ½ (Ñ v) +  ½ (Ñ v) ^t

For the anti- symmetric part:

(Ñ v) _a =  ½ (Ñ  × v) +  ½ (Ñ  × v)^t

Where:

(Ñ v) _a =

 [ 0          ½ ( ¶ v_y/¶x     -  ¶ v_x/¶y)                -]

 [  ½ ( ¶ dv_x/¶x    -  ¶ v_y/¶x]      0                    ]

   [ -                    -                                             0 ]

We need only three different terms, such that:

  

In general:

Where we have for the 1st term on RHS:

   

=                 [i                  j                 k ]

             ½  [¶/¶x        ¶/¶y        ¶/¶ z]

                    [   v_x         v_y                v_z ]

Now, 

(Ñ v)_a    × d r    =    

Which corresponds to a rigid rotation of fluid with some angular velocity    

We next want to look for a linear combination of:  

  with  (Ñ v)_s  And with (Ñ v _s) independent of the coordinate system. Thereby:

(Ñ v) _s = (Ñ v)_const  + (Ñ v) _-t  =    1/3 (Tr) (Ñ v) _s  1

N.B.  -t  Þ   Traceless

Whence: 1/3 (Tr) (Ñ v) _s  1

=

           [  ¶ v_x/¶x     +  ¶ v_y/¶y    +  ¶ v_z/¶z         0               0]

1/3      [0           ¶ v_x/¶x     +  ¶ v_y/¶y     ¶ v_z/¶z                 0  ]

              [ 0              0           ¶ v_x/¶x     ¶ v_y/¶y    ¶ v_z/¶z      ]

Then:

(Ñ v) _s =  1/3 (Tr) (Ñ v) _s  1  +  (Ñ v) _-t

_Þ       =

_{- 2} h   (Ñ v)_-t   -  1/3 h  (Ñ × v) 1

                     {                   }

Where the bracketed term denotes resistance to expansion/contraction which  < < 1 for an ideal fluid.