Motion of a Rigid Body, Precession and the Inertia Tensor (Conclusion)

 At the end of Part 1 we had obtained 2 coupled differential equations:

I₁ w_{1'  +   (}I_{3  -}  I_{2 )} w₃w_{2  = 0}   

I₂ w_{2'   +   (}I_{1  -}  I_{3 )}w₁w_{3   = 0}   

_Where:   b ₌   (I_{3  -}  I₂ )/ I₁   =   - (I_{1  -}  I₃ )/ I₂ 

And:

w₁   = A₁  e ^pt  

w₂   = A₂  e ^pt  

Substituting:

1)'  I₁  A₁  p e ^pt   + ₍I_{3  -}  I_{2 )} w_3 (I_{3  -}  I_{2 )} w₃   = 0

2)'  I₂  A ₂  pe ^pt   - ₍I_{1  -}  I_{3 )} w₃ A₁  p e ^pt = 0

Then take:

I₂  A ₂   x (1)'   and:   I₁  A ₁   x (1)'  

and subtract:

Þ

A₂² I₂  p e ^pt  ₍I_{3  -}  I_{2 )} w_3  + (I_{1  -}  I_{3 )} I₁ A₂² w₃   = 0

Now, if   I₁   = I₂

Þ

A₂² b +  A₁² b   =  0

Or:

A ₂    = Ö - A₁²   =   +  iA₁

And:   P  =   -₍I_{3  -}  I_{2 )/}I₁   {  A₂ / A₁ }

Þ

P  =   - b w₃    +  i  =    +  i b w₃  

Þ

w₁   = A₁  exp [ +  i b w₃ t ]

w₂   = A₂  exp [ +  i b w₃ t ]

Where:

w_1Re   =  A cos (b w₃ t  +  f)

w_2Re   =  A sin (b w₃ t  +  f)

Þ

A cos (b w₃ t  +  f)e1^ + A sin (b w₃ t  +  f)  e2^ +  w₃  e3^

Pictorially w  precesses about the  w₃ axis as shown in sketch of cone:

  
For the space cone half angle:

a_s   =       =    cos a _s    ·  (w) w₃

_{cos a s}        =     /w w₃

_{tan a s      =  A /}w₃

     

     Thus, for Earth, the angular momentum vector is a constant in space, i.e. 0 = 

           

        For the half angle of the precession body cone:   

           cos a_b        =   

                     _ab        =     

   _{We need to obtain space cone half angle (} a_s ) in terms of:            a_b  and  w . Note for the inertia tensor: 

= 

= I₁ 1 + e3^ e3^ ₍I_{3  -}  I_1 ) = I₁ 1 e3^

where:       b ₌   (I_{3  -}  I₁ )/ I₁   

So:  

Þ

             w = w₁  e1^ ₊    w₂  e2^  ₊   w₃  e3^ =  w N 

     (w · L) =  

   After much algebra: 

           a_s        =    

= I₁ w ² (1 +  b cos ² g) / (wI₁ )(1 + 2b cos ² g + b ²cos ² g) ^1/2

 

    = I₁ w ² (1 +  b cos ² a_b ) /(wI₁)(1 + 2b cos ² a_b  +b ²cos ² a_b) ^1/2

   Note here that   b = (I_{3  -}  I₁ )/  I₁   can be greater or less than zero.    For b > 0, space cone is inside the body cone, then: 

       L = w I (n^ + b cos a_b   e3^)