A Quantitative Look At The Physics Of Landau Damping (Conclusion)

We ended the previous part by making a change of variable: 

 x =   k v_o t

I =   ò ^¥_-¥  dv_o /v_o² {2 cos (kv_o t') - 1]   +  k v_o t  sin (k v_o t)}   

= kt ò ^¥_-¥  dx /x²  [2 (cos x -1) + x sin x] 

è

I  = kt -2 ò ^¥_-¥  dx /x²  + 2 ò (cos x dx/x²  +  ò sin x dx/ x 

 I=  -kt ò ^¥_-¥  sin x dx/ x =   - kt p

The other term yields:  - 2 p

So:

I=  -  2p - kt p

dW(t)_R   = -p / 2  (mv _f / k)  f ' (v _f) (eE₁  /m) ²  t

Using:   v _f  =  w _e / k

dW(t)_R   =   -p / 2  (m w _e / k) ²  f ' (v _f) t E₁ f ' (v _f) E₁  ² (e/m) ²  

Now introduce substitutions:

f ' (v _f) =  n_o  g'(v _f)

and:  v_o  =  v   -  v _f

(between wave and lab frame where v  is lab velocity, v_o is wave velocity)

Make variable order change:  v =  v_o  +   v _f

In wave frame we have:

< dv(t)>_xo = 

 (eE₁  /m) ² k/2  (1/ k ³ v_o³) {2 cos (-kv_o t') - 1]  + k v_o t  sin (k v_o t)}  

For energy change in lab frame:

   d e  = m/2 (v  +   dv)²   -  m/2 (v)²

^{energy change in wave frame:}

(d e)_o  = m/2 ( v_o+    dv)²   -  m v_o(dv)  +   O  (dv² )   

N.B.     dv   =  v(t)  -  v(0)  = {v_o(t)  +  v _f}   - {v_o(0)  +  v _f}

=  v_o(t)  -   v_o(0)

Then:  dW _R   = ò ^¥_-¥  dv  f_o(v) < d e >_xo

= ò ^¥_-¥  dv  f_o(v) mv  < d v>_xo

(dW _R in wave frame)

Then after the wave-lab velocity change:

dW _R   =  m ò ^¥_-¥  dv f_o(v_o  +   v _f) (v_o  +   v _f)< d v>_xo

Note the interaction is strongest near the phase velocity (v _f):

Here a beam of electrons, all with speed v with respect to the laboratory frame and speed  v_o  =  v   -  v _f  in respect to the moving (wave) frame.

We then do a Taylor Expansion around   v _f   to obtain:

f_o(v_o  +   v _f)  =  f_o (v _f) +  v_o  f' (v _f)  +  ......

->

 (v_o  +   v _f)f_o(v_o  +   v _f)  = v_o f' (v _f)  +  v_o²  f' (v _f)  + v _f  f_o (v _f)  + v_o v _f f'_o v _f) 

Then:  dW _R   = m ò ^¥_-¥   m dv_o [v_o  f (v _f) + v_o v _f f'_o v _f)] < d v>_xo

                                                           {                                       }

The dominant term of the weak field (bracketed above) is Landau -damped. 

 Recall:  w _e² =  4p n_o e² /m

  Thence:

 dW _R   = -  w _e³/8k²  g'(v _f)  E₁ ² t

Finally,

dW_tot    +  dW _R (t)   = 0   and: 

W_tot    =   ¶ (we_R) W_E   =  E₁ ²/ 8p

_{But since:}  W_E   =  E₁ ²/ 16p

¶ (we_R)   =  2

_And:

_{d/ dt (}W_tot ) =  ¶ g _L  W_tot   (For E₁ (t) =    E₁  exp (g _L t)  )

Again for wave frame:

dW _R   = -  w_e³/8k²  g'(v _f)  E₁ ² t

With damping factor:    g  =   (p/2) w_e³/8k²  g'(v _f) 

Thus the Landau damping rate of the associated E-field:

g _L  =  (p/ L)   w _e ³   /  k ²   [g' (v _f )]