A Quantitative Look At Landau Damping - Part 1

Consider electric field of form:

E₁   (x’,t)  =   exp(  t) (sin kx’   -    t)

In wave frame:

E₁   (x’,t)  =   E₁  (t)  sin kx

The particle velocity in wave frame:

v₀ = v  -    v_f    (The lab velocity – phase velocity)

Change in energy of particle:

d e  =    ½ m (v_o  +  d v) ² – ½ m V_o ²

= m v_o   d v   +  O (d v²)

Averaging energy change over one wavelength:

 < d e >x_o    =    m v_o  <d v>x_o

And: 

d v  =  v(t) -  v_o =   - (e) E₁  /m  ò₀ ^t sin kx (t) dt'

x(t')  must be along the particle orbit, so:

x(t') =  x _o +  ò₀ ^t' v (t") dt"

v(t") = v_o =   - (e) E₁  /m  ò₀ ^t' sin kx ("'t) dt"'

Return to eqn. of motion:

mx"   =   - eE₁  sin kx

For which:

mx'x"   =   - eE₁  sin kx dx/dt

d/dt (½ m x'²)  =   -eE₁  /k   (d/dt cos kx)

And:

½ m x'²  = eE₁  /k [cos kx -  cos kx_o] 

Take the square root:

x'  =    Ö{2eE₁  /km   [cos kx -  cos kx_o]}

Integrate:

dx/[cos kx -  cos kx_o] ^1/2  =  Ö 2eE₁  /km  dt

< dv(t)> = 

  - (e) E₁  /m  ò₀ ^t s <cos kx_o   +  kv_o (t')>_xo + sin <(kx_o  +  kv_o t)> dt

where < > denotes average over one wavelength                                                                         

<cos kx_o   +  kv_o (t')>_xo   = -t'eE₁ /m v_o   (½) [cos kv_o t')>_xo

- eE₁  / km v_o² (½) [ <sin kv_o t')>_xo   +  < cos (-kv_o t')>_xo + sin <(-2 kv_o t')>_xo

_{=   - t'} eE₁  / 2m v_o   cos  (-kv_o t')  +  eE₁  / 2 km v_o²  sin (2kv_o t') 

 Whence:

< dv(t)>_xo = 

  - (e) E₁  /m  ò₀ ^t s <D cos( kx_o   +  kv_o t')>_xo +  <sin <(kx_o  +  kv_o t')> dt