A Quantitative Look At The Physics Of Landau Damping - Part 2

 We left off showing:

< dv(t)>_xo = 

  - (e) E₁  /m  ò₀ ^t s <D cos( kx_o   +  kv_o t')>_xo +  <sin <(kx_o  +  kv_o t')> dt

 Which leads to:

< dv(t)>_xo =  (eE₁  /m) ² k/2   ò₀ ^t dt' [-  k ² v_o²   sin (k v_o t') + 

t'/ kv_o   cos  (k v_o t')

Then next:

< dv(t)>_xo = 

 (eE₁  /m) ² k/2  (1/ k ³ v_o³) {2 cos (-kv_o t') - 1]  + k v_o t  sin (k v_o t)}   

And: 

< d e >_xo =    m v_o < dv(t)>_xo   

dW(t)_R   =  < d e >_xo   = Net energy gained or lost by all particles                     resonantly interacting with the wave.

=  ò ^¥_-¥  dv_o <d e>_xo =   f_o (v_o)  =  ò dv_o f_o m v_o < dv(t)>_xo   

Now, take the expansion:

f_o (v_o)  =  f_o (v _f)   +  ( v_o  -   v _f ) f '(v _f)   + ........

Whence:

dW(t)_R   =    m f_o (v _f) ò ^¥_-¥  dv_o  v_o < dv(t)>_x      +   m f '_o (v _f)  

-   m f '_o (v _f)  ò ^¥_-¥  dv_o  v _f  v_o < dv(t)>_x 

 

_{In the case of a weakly damped wave we know:}

     v _f     >> v_th

So that the approximation:

f_o (v _f)   <<  ‖ v _f  f'  (v _f ) ‖  =    ‖  v _f  -   ( v_e  / v_th ² ) f _o (v _f) ‖  

_{Can be made, allowing us to write:}

_dW(t)R   ~  

(eE₁  /m) ² k/2   mv _f f ' (v _f) ò ^¥_-¥  dv_o     v_o /k ³ v_o³  {2 cos (kv_o t') - 1]  -

k v_o t  sin (k v_o t)}   

=   mv _f f ' (v _f) /k ²  ( (eE₁  /m) ²   ò ^¥_-¥  dv_o /v_o² {2 cos (kv_o t') - 1]  

+  k v_o t  sin (k v_o t)}   

Make change of variable:  x =   k v_o t

I =   ò ^¥_-¥  dv_o /v_o² {2 cos (kv_o t') - 1]   +  k v_o t  sin (k v_o t)}   

= kt ò ^¥_-¥  dx /x²  [2 (cos x -1) + x sin x] 

To be continued