Friday, July 5, 2019

Solutions To Theoretical Mechanics Problems (Holonomic Constraints)

1)Let:

x1 =   L1  sin f1

x1’ = L1  cos  f1  f1

y1 =   L1  cos f1

y1’ = - L1  sin  f1 f1

V =  mgL1 (1 -   cos  f1)


T1  =  ½  m( r q2 )  =    ½  m1( L1  f1’ 2 )  and   T2 =   ½  m2( x2’ 2   + y2’ 2)

Where:

x2 =   L1  sin f1  +   L2  sin f2

y2 =   L1  cos f1  +   L2  cos f2

x2’   = L1  cos  f1  f1    + L2 cos  f2  f2   

y2’   = L1  sin  f1  f1    -   L2 sin  f2  f2   


Then:

T2  =    ½  m2(L1 2   cos 2   f1  f1 2   + L2 2 cos 2  f2  f2    +

 2L1 cos  f1  f1  L2 cos  f2  f2    +  L1 2   sin 2    f1  f1 2   +

  L2 2 sin 2  f2  f2   + 2L1 L2 sin  f1 sin  f2 f1f2’ )


T2 =   ½  m2(L1 2  f1 2   +  L2 2  f2 2   + 2L1 L2 cos (  f2  - f1)  f1f2


Therefore:

L =  ½  m1 L1 2   f1 2    +  ½  m2( L1 2   f1 2   +  L2 2  f2 2 )  

+ m2 L1 L2 cos (  f2  - f1)  f1f2’ – m1 g L1 (1 -  cos  f1  )  -

m2 g [L1 (1 -  cos  f1 )  +   L2 ((1 -  cos  f2 ) 


2)  a)     The Lagrangian is L = T – V

L  =  ½  m( r” 2   +  r q2   +  z’ 2  )  -  mg z


Applying constraints and eliminating one coordinate (z)  [Rem: z = ar]

L  =  ½  m( r’ 2   (1  + a 2  )+  r 2 q2 )  -  mg (ar)


b)     The new Lagrange’s equations are then:


i) m r’’ 2  (1  + a 2  ) - m r 2 q2   +  mg a =  0


And:

ii) m r’’  (1  + a 2  -   ℓ / mr2   +  mg a =  0

Rem:  angular momentum:  =   mr2    dq/ dt   =   mr2   q 


c)Using  undetermined multiplier  l:.

Write:  m r’’  -  m r 2 q2 =       l a

Where    f  / r   =   a

d/dt [m r 2 q2 ] =        


m z’’  +   m g   =  l  

We see   l   is the generalized force associated with z-component

But in terms of radial coordinate r:

z = ar,  so that:    

F r    +     F z    =  const.    

(Normal force exerted by cone’s side requires:  F r    =  -  F z )

z = ar,  so    z’’  =    ar”    then:


m z’’  +   m g      =   m (ar”)   +   mg  =   m(ar”  + g)


l   =  F z     = m z’’  +   m g     = m(ar”  + g)

Then force acting along the radial direction is :

F r    =    - m(ar”   +  g)


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