Thursday, September 3, 2020

Solution of Landau Contour Problem

Given:

 ε   =  1 -   w pe  /k 2  [ò  du  {du f o  d(u) /  (u - w/ k )]


A space physicist wants to show the di-electric function can be expressed in real and imaginary parts such that: ε  r    +  i ε i  = 0  

Show this using integration by parts of the equation for ε   and then do a Taylor expansion.

Solution:  0  =

1 -   w e  /k 2  P  ò¥-¥     du  {du f o  d(u) /  (u - w/ k )  -πi  (w e  /k 2du f o ] u= w  / k


1 -   w e  /k 2  ò  du f o  (u) /  (1 -  ur / w ) 2  - πi  (w e  /k 2du f o u= w  / k   =  0

1 -    w e  /w r 2  (1   +    3 k  2  2  /w e  2 )    -  πi  (w e  /k 2)  d f o / du u= w  / k   =  0


And:   

ε r    (k,  w r ) =  1 -    w e  /w r  2  -      3 k  2  2  /we  2  


ε  =  π i  (w e  /k 2)  d f o / du 


 If     |  w   |   < <   ε  r


We can  do a Taylor expansion about  w  :

->

e r (k,  w r )  +  (w   - w r  )  e r / w  + i e i   + i(w   - w r  )  e i / w =  0

Whence:    i(w   - w r  )   e i / w    -> 0

  
Solving non-zero part:

e r   +    iw   e r / w] w r   +    e i =  0

e r +  e i   =  0

No comments: