1)
For the example problem given, use the remaining two eigenvalues, l2 and l3,
to diagonaliize the matrix and obtain solutions in c x, c
y
and c z.
Solution:
Using the eigenvalue l2 = 5 we arrive at:
For
which:
c
y = c z / Ö 2 and
c = 0 e1^ - c
z / Ö 2 e2^
+ c z e3^
Whence:
(c
z 2 / 2 + c z 2) = 1 Þ c z = Ö (2/ 3)
Further:
e2^’ = 1/Ö 2 (Ö (2/ 3)) e2^” + Ö (2/ 3) e3^” =
1/ /Ö 3 e2^” + Ö (2/ 3) e3^”
1/ /Ö 3 e2^” + Ö (2/ 3) e3^”
For the eigenvalue l3 = 14:
We
arrive at:
Yielding: c y = - Ö 2 c z and
c z = 1/ Ö 3
Þ c
=
Ö 2 c z
e2’’’ + c z e3^”’ =
-Ö (2/ 3) e3^” + Ö (1/ 3) e3^”
2)
Thereby obtain the principal axes in terms of:
e^’x, e ^’y and e^’
z
.
Solution:
Note
conversions between primed and unprimed systems:
e j = å3
i= 1
a i j e j
’ and: e i’
= å3
j= 1
a i j e j
Then:
e x^” = - 1/ Ö 2 e 1 - 1/ Ö 2 e 2
So:
e x^’ = e x^” = 1/ Ö 2 e 1 - 1/ Ö 2 e 2 + 0
Similarly:
e y^” = 1/ Ö 2 e^ 1 + 1/
Ö 2 e^ 2 + 0
And: e z^” = e^ 3
Þ e y^’
=
1/
Ö 3 (1/ Ö 2) e^ 1 + 1/ Ö 3 (1/ Ö 2) e^ 2
+ Ö (2/ 3) e3^
= e^ 1 / Ö 6 + e^
2 / Ö 6 + 2 e^ 3 / Ö 6
And: e z^’ =
- 1/ Ö 3 (e^ 1 ) - 1/ Ö 3 (e^ 2) + 1/ Ö 3 (e^3)
The Principal axes are: e x^’ , e y^’ and e z^’
No comments:
Post a Comment