Monday, December 22, 2014

Solutions to Tensor Problems - Pt. (2)

1) For the example problem given, use the remaining two eigenvalues, l2 and l3, to diagonaliize the matrix and obtain solutions in c x, c y and c z.


Solution:


Using  the eigenvalue l2  = 5 we arrive at:

No automatic alt text available.


For which:

c y = c z / Ö 2    and   c = 0 e1^  -  c z / Ö 2    e2^ + c e3^

Whence:

(c z  2 / 2  +  c z  2)  = 1    Þ   c z   =  Ö (2/ 3)

Further: 

e2^’  = 1/Ö 2   (Ö (2/ 3)) e2^”  +  Ö (2/ 3) e3^”  =


 1/ /Ö 3   e2^”  + Ö (2/ 3) e3^” 


For  the eigenvalue  l3  =  14:

We arrive at:

 

Yielding:   c y = -  Ö 2 c z   and   c z    =  1/ Ö 3

Þ   c   = 

Ö 2  c z   e2’’’   +  c z   e3^”’  =  -Ö (2/ 3) e3^”  + Ö (1/ 3) e3^” 


2) Thereby obtain the principal axes in terms of: 

e^’x,        e ^’y and e^’ z .

Solution:

Note conversions between primed and unprimed systems:

  e j =  å3 i= 1   a i j   e j and:  e i =  å3 j= 1   a i j   e j

Then:

e x^”    =  - 1/ Ö 2 e 1   - 1/ Ö 2 e 2   

So: 

e x^’    =  e x^”    =  1/ Ö 2 e 1   - 1/ Ö 2 e 2    + 0


Similarly:  

e y^”    =   1/ Ö 2 e^ 1   +   1/ Ö 2 e^ 2    + 0


And:  e z^”    =   e^ 3     Þ   e y^’ = 


1/ Ö 3 (1/ Ö 2) e^ 1   +  1/ Ö 3 (1/ Ö 2) e^ 2  +   Ö (2/ 3) e3


=   e^ 1   / Ö 6   +   e^ 2   / Ö 6   +   2 e^ 3  / Ö 6  

And:  e z^’    =  


 - 1/ Ö(e^ 1 ) - 1/ Ö 3  (e^ 2)   + 1/ Ö 3  (e^3)  


The Principal axes are: e x^’ ,    e y^’   and  e z^’


No comments: