Solving More Difficult Partial Differential Equations: Plane Waves & The Rectangular Membrane (Pt. 5, Section ii)

 Use the equation for u (0, y, t) to obtain the value of A, and thence find X(x):

u(0, y, t) = X(0) Y(y) T(t)

Þ

X(0) = 0   Þ    A = 0

∴   X(x) =     B sin  b x

Since:  X(x)  =  A cos   bx +   B sin  b x

Further:  u(a, y, t) = X(a) Y(y) T(t) = 0

Þ  X(a) = 0  Þ  B sin  b a

Here:   ba  =   np    Or    B  =  np /a  

n = 1, 2, 3......

Similarly:  u(x, 0, t) = X(x) Y(0) T(t) = 0

Þ  Y(0) = 0  Þ  C = 0

Then:  Y(y)  =  D sin a y

And:  

u(x, b, t) = X(x) Y(b) T(t) = 0

Þ  Y(b) = 0  Þ  D sin a b = 0

Or:  a b = mp

Or:    a  =  mp /b,   m = 1,2, 3......

Further:  X _n (x) =  B _n  sin  (np/ a) x,   n = 1,2 ...

Y _n (y) =  D _n  sin  (mp/ b) y,   m = 1,2 ....

For T(t):

T' = ¶ T / ¶ t =   - Eg sin   g t  +   F g cos gt  

Then:

¶  u/ ¶ t =   X(x) Y(y) T'(t)

And:   

¶  u(x,y,t)/ ¶ t =   X(x) Y(y) T'(0)  =  0

Þ  T'(0) = 0  Þ  F g= 0

Þ  F = 0

Therefore:

 T _nm (t) =   E _nm cos [cÖ ((mp/ b) ²    +  (np/ a) ²  t]

Where the subscript nm denotes that we have a two fold, infinite solution for the above equation.

∴ u _nm (x, y, t) =  

B _n  D _n E _nm sin (np/ a) x sin  (mp/ b) y cos [cÖ ((mp/ b) ²    +  (np/ a) ²  t]

Finally,

u(x,y,t) =

 å^¥ _n=1  å^¥ _m=-oo  a _nm sin (np/ a) x sin  (mp/ b) y cos [cÖ ((mp/ b) ²    +  (np/ a) ²  t]

To be continued..