Fourier Transform Problem Solution

 Problem: Find the Fourier transform of:  

f(x) =  exp(-  l x ²) cos  b x

Solution:

F(k)  = F{f(x)} = 1/ Ö 2 p     ò ^¥_-¥    (exp(-  lx ²) (cos  b x)  exp (ik x )  dx  

Replace cos  b x  with Re exp (i b  x)

F{f(x)} = 1/ Ö 2 p     ò ^¥_-¥    [exp(-  lx ²) exp (i b  x) ]  exp (ik x )  dx  

=   1/ Ö 2 p     ò ^¥_-¥    [exp(-  lx ²) exp (ix (b  +  k) ]  dx  

Rewrite the exponents of e in the integrand: 

 -  lx ²  +   ix (k  +  b) =  - (x (Ö l    -    i (k  +  b) / 2 Ö l) ²  -  (k  +  b) ² / 4 l

Change the variable such that:

u   =    x (Ö l   -    i (k  +  b) / 2 Ö l)   

Whence: 

 F(k) =  1/ 2 Ö(  p l)   exp  -(k  +  b) ² / 4 l  ò ^¥_-¥    exp  (-u² )  du

Where the definite integral:

ò ^¥_-¥    exp  (-u² )  du   =    Ö p

Yielding:  

F(k) =  1/  Ö (2 p l)   [exp  -(k  +  b) ² / 4 l]  (Ö p )

=  1/ Ö ( 2 l) exp  -(k  +  b) ² / 4 l