Solutions To Lagrangian Dynamics (May 6) Problems

1)  For the dual angle pendulum system let:

x1 =   L1  sin f1

x1’ = L1  cos  f1  f1’

y1 =   L1  cos f1

y1’ = - L1  sin  f1 f1’

V =  mgL1 (1 -   cos  f1)

T1  =  ½  m( r q’ ² )  =    ½  m1( L1  f1’ ² )  and   T2 =   ½  m2( x2’ ²   + y2’ ²)

Where:

x2 =   L1  sin f1  +   L2  sin f2

y2 =   L1  cos f1  +   L2  cos f2

x2’   = L1  cos  f1  f1’    + L2 cos  f2  f2’   

y2’   = L1  sin  f1  f1’    -   L2 sin  f2  f2’   

Then:

T2  =    ½  m2(L1 ²   cos ²   f1  f1’ ²   + L2 ² cos ²  f2  f2’    +

 2L1 cos  f1  f1’  L2 cos  f2  f2’    +  L1 ²   sin ²    f1  f1’ ²   +

  L2 ² sin ²  f2  f2’   + 2L1 L2 sin  f1 sin  f2 f1’ f2’ )

T2 =   ½  m2(L1 ²  f1’ ²   +  L2 ²  f2’ ²   + 2L1 L2 cos (  f2  - f1)  f1’ f2’

Therefore:

L =  ½  m1 L1 ²   f1’ ²    +  ½  m2( L1 ²   f1’ ²   +  L2 ²  f2’ ² )  

+ m2 L1 L2 cos (  f2  - f1)  f1’ f2’ – m1 g L1 (1 -  cos  f1  )  -

m2 g [L1 (1 -  cos  f1 )  +   L2 ((1 -  cos  f2 ) 

2)  a)     The Lagrangian is L = T – V

L  =  ½  m( r” ²   +  r q’ ²   +  z’ ²  )  -  mg z

Applying constraints and eliminating one coordinate (z)  [Rem: z = ar]

L  =  ½  m( r’ ²   (1  + a ²  )+  r ² q’ ² )  -  mg (ar)

b)     The new Lagrange’s equations are then:

i) m r’’ ²  (1  + a ²  ) - m r ² q’ ²   +  mg a =  0

And:

ii) m r’’  (1  + a ²  ) -   ℓ / mr²   +  mg a =  0

Rem:  angular momentum:  ℓ =   mr²    dq/ dt   =   mr²   q’  

c)Using  undetermined multiplier  l:.

Write:  m r’’  -  m r ² q’ ² =       l a

Where    ¶ f  / ¶ r   =   a

d/dt [m r ² q’ ² ] =        ℓ

m z’’  +   m g   =  l  

We see  l is the generalized force associated with z-component

But in terms of radial coordinate r:

z = ar,  so that:    

F _r    +     F _z    =  const.    

(Normal force exerted by cone’s side requires:  F _r    =  -  F _z )

z = ar,  so    z’’  =    ar”    then:

m z’’  +   m g      =   m (ar”)   +   mg  =   m(ar”  + g)

l   =  F _z     = m z’’  +   m g     = m(ar”  + g)

Then force acting along the radial direction is :

F _r    =    - m(ar”   +  g)