Solution To Korteweg De Vries Soliton Problem

 Integrate  the KdV equation:

a  d² V/ dx²   -    (v _o   -   c _s ) v  -   v ²/ 2   =  0 

And show how the soliton solution:

v   =   3 (v _o   -   c _s ) sech ²  [(v _o   -   c _s  / 4 a) ½     x' ]

Is obtained.  Given this is in the fluid frame, show what it would be in the lab frame.

Solution:

Multiply the KdV eqn. by v'  and then integrate to obtain:

a/ 2  (v' ²)  =  (v _o   -   c _s ) v ²/ 2  -    v³/ 6

We choose the constant of integration to be zero because we want v' = 0  when  v = 0.   Then:

dv/ dx'   =   v'  =   ( 2/ a) ½ [ (v _o   -   c _s ) v ²/ 2  -    v³/ 6 ] ½ 

Or:

dv/  [(v _o   -   c _s ) v ²/ 2  -    v³/ 6 ] ½    =   ( 2/ a) ½  dx'

Now integrate both sides to obtain:

ò dv/ Ö (v  ²  -  b v  ² )  =   ò ( 2/ a) ½ dx'

 

Where   b   = 1/  [3 (v _o   -   c _s )]

Now let u  =  Ö (1    -   b v)   so  v  = (1 -  u  ² ) /  b  

   And du =    (-  b   dv/ 2)/  Ö (1    -   b v)

Then we are in position, with some labor, to work out:

( 2/ a) ½ x'   =  (2/ v _o   -   c _s ) ½  ln  (1 - u/  1 + u)  

On introducing another compressed factor with an exponential, viz.

exp (g  x')   =    (1 - u/  1 + u)    

with  1  - u   =    (1 + u) exp (g  x')     

 It is straightforward to get to the final soln.   The key penultimate step is:

v  =   1/ b   =   4 / [e  ^{x' /2 g}  -  e ^{- x' /2 g} ]  

=   1/ b  sech ² (g  x'/  2) 

Leading to:

3 (v _o   -   c _s ) sech ²  [(v _o   -   c _s  / 4 a) ½  x' ] 

In the lab frame (where x =   x'  +   v _o t)  we have:

v (x, t) =  

3 (v _o   -   c _s ) sech ²  [(v _o   -   c _s  / 4 a) ½  (x'  -   v _o t)]