Solution of Landau Contour Problem

Given:

 ε   =  1 -   w _pe ²  /k ²  [ò  du  {du f _o  d(u) /  (u - w/ k )]

A space physicist wants to show the di-electric function can be expressed in real and imaginary parts such that: ε  _r    +  i ε _i  = 0  

Show this using integration by parts of the equation for ε   and then do a Taylor expansion.

Solution:  0  =

1 -   w _e ²  /k ²  P  ò^¥_-¥     du  {du f _o  d(u) /  (u - w/ k )  -πi  (w _e ²  /k ²) du f _o ] u= w r  / k

1 -   w _e ²  /k ²  ò  du f _o  (u) /  (1 -  ur / w ) ²  - πi  (w _e ²  /k ²) du f _o ] u= w r  / k   =  0

1 -    w _e ²  /w _r ²  (1   +    3 k  ²  v _e ²  /w _e  ² )    -  πi  (w _e ²  /k ²)  d f _{o /} du ] u= w r  / k   =  0

And:   

ε _r    (k,  w _r ) ₌  1 -    w _e ²  /w _r  ²  -      3 k  ²  v _e ²  /w_e  ²  


i ε _i  =  π i  (w _e ²  /k ²)  d f _{o /} du 


 If     |  w  _r  |   < <   ε  _r

We can  do a Taylor expansion about  w _r  :

->

e _r (k,  w _r )  +  (w   - w _r  )  ¶ e _r / ¶w  + i e _i   + i(w   - w _r  )  ¶ e _i / ¶w =  0

Whence:    i(w   - w _r  )  ¶ e _i / ¶w    -> 0

  

Solving non-zero part:

e _r   +    iw  ¶ e _r / ¶w] w r   +    i e _i =  0

e _r +  i e _i   =  0