More Plasma Physics: Looking At Nonlinear Electrostatic (BGK) Waves (Part III)

 Case 2 - Application to ion-acoustic solitons and shocks:

Take:

v _eo  =  v _io  =  u _o

 And:  Electron, ion streaming at same speed, i.e.

T_i= 0,  T_e  ≠ 0

Electron thermal speed: 

v _eo ² =   2T_e /m_e

Ion sound speed:  c_s ²  = T_e /m_i

We can then write:

n _i  =  n _o /Ö 1 -  2e j /m_i u_o² 

With electron distribution function:

f _s  ~  n _s  =    A n _so- v ²  -   2e j  /m_e v _oe²  )

Making assumption:   

u_o²  < <  v _oe²

We get for the number density:

n _e  =    n _o  exp [e j  /T_e ]

Note: Boltzmann distribution, given:

exp ( 2e j  /m_e v _oe² )   =    exp [e j  /T_e ]

Therefore:  

d ²j/ d x²    =  4 p  e (n _e – n _i) = 

4 p  n _o e (exp [e j  /T_e ]  - 1 /Ö 1 -  2e j /m_i u_o² ) 

We now seek to reframe this equation non-dimensionally using:

F = e j/ T_e

Proceeding:

{2 e j/ T_e }/m_i u_o² / T_e)   =    2F / u_o² /  c_s ²  =   2 F/M _s ²

Where M _s  is the sonic shock number.

Then:

4 p  n _o e (exp [e j  /T_e ]  - 1 /Ö 1 -  2e j /m_i u_o² )   =

4 p  n _o e (exp [F]  - 1 /Ö 1 -  2 F/M _s ² ) 

Whence:  

d ²/ d x²  {exp [e F /T_e }  =  4 p  n _o e ²/T_e [exp [F]  - 1 /Ö 1 -  2 F/M _s ² ]

Or:

d ²j/ d x²    =   1/l _e ²   [exp [F]  - 1 /Ö 1 -  2 F/M _s ² ]

We have in summary:

F = e j/ T_e  ,  x =  x/ l_e    And:   M _s  =   u_o / c_s

Then:   d ² F/ d x ²  =   exp (F) -  1Ö(1 – (2 e F)/ (M _s )²  =    - ¶  y/ ¶ j 

Which is the dimensionless Poisson equation

Where:   Y  =  exp (F) - 1/ Ö(1 – (2 e F)/ M _s ²)  +  C

_{We require for self-consistent solutions:}

₁₎  y   (F =0)  =  0       Þ    C  =  1 +  M _s ²

2)  d ² Y / d F 2 ‖_f =0     < 0

3) y  (F _c )  >  0

Which leads to:  1  -   exp [M _s ² /2]    +  M _s ²   >  0

Hence:    

M _s   <  1.6

Thus for a soliton (shock) solution associated with case 2 to exist:

1   <    M _s    <  1.6