Solutions to Plasma Physics Problem in Radio Astronomy

 Problem:

1)  A space plasma with electron number  density  10 ¹² /cm ³  

features a magnetic field of 0.0001 T (Tesla).  

Find:

 a) the electron plasma frequency, 

b) the cyclotron frequency and c) the hybrid frequency.

d)Thence or otherwise find the refractive index of the plasma and whether ordinary or extraordinary wave propagation can be expected.

Solutions:

a) The electron plasma frequency:

 w _e     =  [n_e e²/ m_e  ε_o] ^½

Where:  n_e  = 10 ¹²  /cm ³  = 10 ¹⁸  /m ³

e  =  1.6 x 10^-19  C

m_e   =  9.1 x 10^-31  kg

ε _o  =  8.85 x 10^-12  F/m

Then:

 w _e  = 

 [10 ¹⁸ m^-3 (1.6 x 10^-19  C) ²  /9.1 x 10^-31  kg (8.85 x 10^-12  F/m)] ^½

w _e  = 5.63 x 10 ¹⁰   c/s

b) The cyclotron frequency:  

w _c   =  qB/ m _e

Where:  q  =  e  =  1.6 x 10^-19  C

B = 0.0001 T

m_e   =  9.1 x 10^-31  kg

Then:  w _c  = (1.6 x 10^-19  C)  0.0001 T /9.1 x 10^-31  kg 

=  1.76 x 10 ⁷   c/s

c) The hybrid frequency

w _H ² =    w _e ² +   w _c ²     

Or:   w _H    =   [  w _e ² +   w _c ² ] ^½

w _H    =   [  (5.63 x 10 ¹⁰   c/s) ² +  (1.76 x 10 ⁷   c/s) ² ] ^½

w _H    =      5.63 x 10 ¹⁰   c/s

The refractive index of the plasma can only apply to the ordinary wave since:

For the extra ordinary wave: n _x ² =   1   -   X /  ( 1 -  Y)

But:   X  =   w _e ² / w ²     and   Y  =  w _H ² / w ²

However, on computation we find:

   w _e    »    w,    w _H   »    w  =  5.63 x 10 ¹⁰   c/s

So:  X  =  1      and   Y  =  1   whence:

n _x ² =   1   -   X /  ( 1 -  Y)  =    1 -   1/ (1 -  1)  = 1 - 1/0

So:  n _x   =  [1 -  ¥] ^½       So  indeterminate

But for the ordinary wave:

n _o ² =   1   -   X /  ( 1 +  Y)

So:  n _o   =  [1 -  1/ 1 + 1] ^½   =  [1 -  1/ 2] ^½  

n _o   =  [1/ 2] ^½    

n _o   =  Ö 2 / 2 =   0.707