Solutions- Answers To Differential Operators Revisited

1)  Rewrite the DE below with differential operators:

 

   5 d⁵y/ dt⁵ - 10 dy/dt –25y = 0

 

 

Solution:

 

5  (D _t y) ⁵  -  10 (D _t y) –25y = 0

 

2) Rewrite  the DE below in standard derivative form and solve:

 

(D _x y)   =   3x²   -  1  

 

Soln: Rewrite as:  dy/dx = 3x²   -  1  

 

So:  dy   = (3x²   -  1 ) dx

 

 Integrate: ò dy   = ò (3x²   -  1 ) dx  

 

y   = 3x³  /  3  -  x  + C    =   x³ -  x  + C    

 

3)  Does  (D _x y) ²  =   D ² _x y  ?  Explain.

 

No!  Because the first defines the nth derivative, i.e.

 

(D _x y) ⁿ  =   dⁿ y / dxⁿ

 

So:  (D _x y) ²  =    d² y/ dx²    

 

But the 2^nd defines the square of the derivative, i.e.

 

D ² _x y   =  (dy/dx) ²

 

 

4) Evaluate each of the following:

 

i)                  (D _x y)  (ln e ^x / 1+  e ^x)

 

Ans.   1/ (1+  e ^x)

ii) (D _x y)  ½ ( e ^x   -  e ^-x)   

 

Ans. ½ ( e ^x   -  e ^-x)   

 

ii)               D^-1  ( 11 x² )  

 

Ans. 11 x³  / 3

 

 iv)  (D _x y)    ( e ^x   ln x)

 

Ans.   e ^x   ln x   +   e ^x / x