Solutions To Spherical Harmonics Applied To Electrical Potential Problems

 1) P m  _ℓ   (cos q ) =  - 3/ 2  sin q (5 cos ² q  - 1 )

If m =   1  and  ℓ = 3, show that the function is accurate.

Soln.: We may use:

P _ℓm (q )  =  (-1 ) ^m  sin ^m q   d ^(m) [P _ℓ   (cos q )]  / d (cos q)^m

For  ℓ  =3  and  m = 1 ,  so:

P _ℓm (q )  =   (-1 ) ¹  sin ¹ q   d ⁽¹⁾ [P ₃   (cos q )]  / d (cos q)¹

 And:  P ₃   (cos q )  =  1/2  (5 cos ² q  -  3 cos  q) 

Hence  take: z  =  cos q  and substitute, viz :

d/ dz [P ₃   (z)] =   d/ dz (5 z ²/2 -    3z /2 )

è

P _ℓm (q )  =   (-1 )   sin  q   (5 cos ² q   -   3/2)

 =  - 3 sin q/ 2  (5 cos ² q   -  1) =  - 3/ 2  sin q (5 cos ² q  - 1 )

2)Write the full Laplace equation in spherical coordinates for a homogeneous medium with magnetic permeability m  ,  permittivity e, _, conductivity, s    and frequency w.

For case in vacuo:      Ñ ²   V  =  0

Which in spherical coordinates becomes:

1/ r ²  ¶ / ¶ r (r ²   ¶ V/¶ r  )  

+ 1/( r ² sin q)  ¶ / ¶ q (sin q  ¶ V/¶ q)  +  1/( r ² sin q)   ¶  ² V/¶ j²     =  0

For a homogeneous medium with magnetic permeability m  ,  permittivity e, _, conductivity, s    and frequency w.

Ñ ²   V  =     =   g ²   V  =    [ j  w m (s  +  j  w e)]  V

 Where   g    =     Ö [ j  w m (s  +  j  w e)]  is the propagation constant

 So that:

 1/ r ²  ¶ / ¶ r (r ²   ¶ V/¶ r  )   + 1/( r ² sin q)  ¶ / ¶ q (sin q  ¶ V/¶ q)

  +  1/( r ² sin q)   ¶  ² V/¶ j²      =  [ j  w m (s  +  j  w e)]  V

3) We have:

d² Q / d ² q  + cot q (d Q / d  q ) + (a²  -  m²/ sin² q ) Q = 0   

Where: a²    =  n(n + 1)

Then let: 

x = cos q,  sin ² q = 1 – x ²  ,    d/ dq  = - sin  q d/ dx

Then we rewrite the Legendre equation after subst. as:

( 1 – x ² ) d² Q / d ² x   - 2x d Q / d x  + [n(n + 1) -  m²/ 1 – x ²] Q = 0