Solutions To Fractional Calculus Problems

 1) Let f(x) =  y =   x ³   - 3 x ²  +   5x  - 4

And: g(u) =  x =   u ²  +  u

Use the chain rule to show:  d y/ du =  dy/dx  (dx/du)

Soln.:  x =   u ²  +  u   

But:  dy/ dx  =  3 x ²  -   6x  +   5  

=>  3 (u ²  +  u) ²   -   6 (u ²  +  u)   +   5  

dx/ du = 2u + 1

Then:  dy/dx  (dx/du) =

[3 (u ²  +  u) ²   -   6 (u ²  +  u)   +   5] (2u + 1)  

2) Find the fractional derivatives: D ^1/2  (x ⁰)  and D ^1/2  (x ²)

Solns.:

D ^1/2  (x ⁰)  =    G(n + 1)/ G(n + 1 -  a)  

Where: n = 0, a =  ½

   so:

D ^1/2  (x ⁰)  =  G(0 + 1)/ G(0 + 1 -  ½)  = G(1)/ G( ½)

=  0.564

D ^1/2  (x ²)     Where: n = 2, a =  ½

so:

D ^1/2  (x ² ) =  G(2 + 1)/ G(2 + 1 -  ½)  = G(3)/ G(2 ½)

=  1.505

3)  Find the fractional derivative: D ^1/2  (sin (x))

Soln.

D ^a  (sin (x)) =   sin  (x +   a p / 2)    and:   a =   ½

So:  D ^1/2  (sin (x)) =   sin  (x +   ( ½) p / 2) = sin (x + p / 4) 

4) Is D ^1/2 (1)   the same as: d ^q (1)/ [d(x - a) ]^q 

^{For q = 1 in the 2nd?  Explain.}

^Ans.

^{The two forms are the same provided:} 

^{i) The interval of interest a <  x  < b   is integrable. and}

^{ii) The latter form is not confused with the Heaviside function for which:}

^{f = 0,}    -  ¥  <  x  <  a,  f = 1