Solutions to Beta, Gamma Function Problems

 1)The error function erf x

 =  (2 /Ö  p )  ò ^¥ _o   exp  ( -x ²) dx

The gamma function:  

G (½ ) =  ò ^¥ _o   x ^-1/2  e ^{- x}    dx

Show the relationship between erf x  and  G (½ ): 

Solution:   Note:     ò ^¥ _o   exp  ( -x ²) dx  =  Ö  p /2 

 erf x   =  (2 /Ö  p )  ò ^¥ _o   exp  ( -x ²) dx =  (2 /Ö  p ) (Ö  p /2)   =   1

And * :   G (½ ) =   2   Ö  p / 2   =   Ö  p 

Found by letting x =  y ²    in  original integral and integrating, viz.

ò ^¥ _o   exp  ( -y ²)  2y  dy/   =    2   Ö  p / 2   =   Ö  p 

Therefore:  

G (½ ) =   Ö  p   erf x

2)   Given:  ò ¹ _o   x ⁿ  dx /Ö ( 1 -  x ²)   

Find an integral expression for the Beta function:    

 ½ b(n +  ½,   ½)

Hint:  Let x  =    sin  q 

Solution:  We may write using substitution

 ò ¹ _o   x ⁿ  dx /Ö ( 1 -  x ²)   =   ò ^{p /2}  ₀   (sin ⁿ q)/  cos  q) cos q d q 

=   ò ^{p /2}  ₀   (sin ⁿ q)  d q 

Recall:   ò ¹ _o   y  ^v-1  (1 – y)  ^u-1  dx =  b (v, u)

Or:   b (v, u)  =   

2 ò ^{p /2}  ₀   sin ^-2u-1 q   cos n ^2v-1   q  d q 

(Where:  2u - 1 =  n and 2 v- 1 =  0) 

Thus:    u =   (n + 1)/ 2 and  v =  ½

Therefore:   2 ò ^{p /2}  ₀    (sin ⁿ q)  d q   =   ½ b(n +  ½,   ½)

3)  b(p, q) = G (p) G (q)/ G (p + q)

Where:   p  = [1- a(s)]    and q  =   [1 - a(t)]

Are string parameters.

a(s)  =   ln e/ 20   =   1/ 20

   a(t)  =    p ln e/ 2  =   p / 2

Solution:  From the formulae we may write:

b([1- a(s)][1 - a(t)] =

G (1 - a(s)) G (1 - a(t))/ G (2 - a(s) - a(t))

Where:  1- a(s)  =   1  - 1/20 =  0.95

1 - a(t)   =  1 -   p / 2   =  - 0.57

And:

2 - a(s) - a(t) =  2 -  0.95 -  (-0.57) = 1.62

b ([1- a(s)][1 - a(t)] =

G (0.95) G (-0.57) / G (1.62)

The remaining Gamma function form can be solved using fractional gamma functions, one or more forms of which can be found in suitable mathematical tables (such as CRC)  e.g.

One can start with:  G (½ ) =   Ö  p

Say you wish to obtain:  G (- ½ )

Then from the basic fractional Gamma function formula:

G (x + 1) = x G (x)

 G (- ½ + 1) =  - ½  G (- ½ ),  or:

G(- ½ ) =  - 2 G ( ½ )  =  - 2 Ö p 

Say you wish to obtain:  G (1.5 )

Recall:   G (x + 1) = x G (x)

Here we have:  G (3/2 ) = G ( 1  +  ½) = ½  G ( ½ )

=  ½   Ö p

What about a negative decimal function? Say: G (-  0.30 )

 We have from CRC Tables for Gamma functions:

G (1.70 )  =  0.90864

Then:  G (-0.30 ) = G (1 -  0.30 ) =  G (0.70 ) =

-0.30 G (- 0.30 )    So:

G (-0.30 ) =  G (0.70 ) /  - 0.30

But:  G (0.70 )  =

  G (1.70 ) /  0.70   = 0.90864/ 0.70  =   1.29805

Finally:  

G (-0.30 ) =  G (0.70 )/  - 0.30 =  1.29805/ -0.30 = - 4.32683

Try to work out the final mathematical forms yourself!

(You can leave the final result in partial numerical form if you wish, or you are unable to obtain the necessary conversion tables) 

Here is one such possible solution:

G (0.95) G (-0.57) / G (1.62)  =

G (1.70 -  3/4) G (- p/ 2  +1) / G (1.5 + 0.12)