Solutions To Fourier Series Problems

 1) Multiplying :

f(x)  =  å^¥ _{n = 1}   { a _n  cos npx/ L   +   b _n  sin npx/ L}  

By  sin  mpx/ L  and integrating  from -L to L we get:

ò ^L_-L   f(x) (cos mpx/ L) dx   =  A ò ^L_-L   (cos mpx/ L) dx   +

å^¥ _{n = 1}   [ a _n  ò ^L_-L   cos mpx/ L)( cos npx/ L) dx +  

b _m  ò ^L_-L   (cos mpx/ L)( sin npx/ L)dx ]

=   b _m  L   

Thus:   b _m  = 1/L  ò ^L_-L   f(x) (sin mpx/ L) dx       for m = 1, 2, 3... 

 (2) We let x = h = 0, then:  a _o  = 1,   a _n  = 0,  

b _n  = {1/ p  (0)  =   0   (n even)

          { 2/ n p           (n odd)    

Then for the general representation of the Fourier series we get:

f(x) =  a _o  / 2    +   å^¥ _{n = 1}    a _n  cos nx   +   b _n  sin nx

To obtain specific series result we substitute values, i.e.

  a _o  / 2    +   å^¥ _{n = 1}    a _n  cos nx   +   b _n  sin nx  = 

 1/2 +   å _{n = odd}    2/ n p  (sin nx}    But sin nx = 0 at x = 0

Therefore:  At jump point series =   1/2 

Thus f(0) = 1 but Fourier series = 1/2

(3)  The graph of the function is shown below:

(a) The period = 2L  = 10 and L = 5. We choose the interval c to c + 2L as -5 to 5, so that c = -5.  Then we can write:

 a _n  = 1/L   ò ^c+2L_c   f(x) (cos npx/ L) dx   =  1/5 ò ⁵_-5 f(x) (cos npx/ 5) dx

a _n  =  1/5 {ò ⁰_-5 f(0) (cos npx/ 5) dx +  ò ⁵₀ f(3) (cos npx/ 5) dx} 

=  3/5 {ò ⁵₀  (cos npx/ 5) dx}  =  3/5 [5 /np   sin npx/ 5 ]⁵₀    if n ≠  0

If n = 0 then a _n  = a _o  =  3/5 ò ⁵₀  cos (0)px/ 5) dx =  3/5 ò ⁵₀   dx =  3

Further:    b _n  = 1/L   ò ^{c+ 2L}_c   f(x) (sin npx/ L) dx  = 1/5 ò ⁵_-5 f(x) (sin npx/ 5) dx

b _n  =  1/5 {ò ⁰_-5 f(0) (sin  npx/ 5) dx +  ò ⁵₀ f(3) (sin  npx/ 5) dx} 

b _n  =  3/5 ò ⁵₀  sin  npx/ 5 dx  =    3/5 [5 /np   cos npx/ 5 ]⁵₀    

b _n    =   3(1  -  cos  np )/  np

(c)  The  corresponding Fourier series is written:

 a _o  / 2    +   å^¥ _{n = 1}    (a _n  cos npx/ L   +   b _n  sin  npx / L)   

=  3/2 +   å^¥ _{n = 1}    3(1  -  cos  np )/  np  (sin  npx/ 5)  =

3/2 +  6/p   (sin  px/ 5   +   1/3 sin  3px/ 5  +  1/5 sin  5px/ 5  +  .....)