Wednesday, August 26, 2020

Solution to Ricci Tensor Problem


Given the metric:   1,  1   ,   2 

We have:

R (Ricci) =  11  ( R 11 )   +  g  22    ( R 22 ) +  g   33    ( R 33 )

Where:  R 11 =    g  22     R 2112

 R 22 =   11   R 1221  +   g   33    R 3223

R 33 =    g  22     R 2332

Then:  11   =   1,      g  22  =  1/  1 ,  g   33    =  1/  2

R 1221 =     -  1/  1

R 2332    =   -  1/  2

And:    R 3223    =    -  1/  2

Further:   R 2112    =  -  1/  1 

And:   R 2332   =    -  1/  2

So:

R 11 =    g  22     R 2112    =   1/  1    (-  1/  1 )

R 11  =   - 1 /  (1 ) 2      

R 22 =   11   R 1221 +    g   33    R 3223    

=  ( -  1/  1 )   +   (  1/  2 )  (-  1/  2 )

R 22 =    -  1/  1     - 1 /  (2 ) 2      

R 33 =    g  22     R 2332   =  (  1/  1  ) (-  1/  2)

R 33   =   -  1 /  1  2

Then:  11  ( R 11 )   +  g  22    ( R 22 ) +  g   33    ( R 33 )  =

( 1)   [- 1 /  (1 ) 2 ]     +   1/  1   [-  1/  1     - 1 /  (2 ) 2  ]  +  

(1/  2 )   [-  1/  1  2 ]  =   

-2 /  () 2  - 1 /  () 2   -  1/ [2  ( 1  2 )]
   


No comments: