Solutions To Vector & Solid Geometry Problems

Vector problem solutions (From May 14 post):

1)      For two vectors A = 3i – 4j and B = -i – j, find the magnitude and direction of: 

 A + B,  and   B – A.

Solns (a).;  A + B =   (3i - 4j) +   (-i  -j)  =     2i  - 5j    with magnitude:  Ö {(2) ²   + (-5) ²}   =     Ö 29   and direction - 68.2 deg with respect to  +x- axis.

(b):B  - A =     (-i  -j)  -  (3i - 4j)  =     - 4i  + 3 j   with magnitude:  Ö {(-4) ²   + (3) ²}   =     Ö 25   and 

direction - 38.6 deg with respect to the   - x  - axis.


2)  Using the method of components, find the vector sum of the two vectors A and B if A makes an angle of 45 degrees with the x-axis and has a length of 6 units, and vector B makes an angle of 135 degrees with the x-axis and has a length of 8 units.


Soln.  We know:  A _x   =   A cos q  ,   A _y   =   A sin q  ,  


A _x   =   6  cos 45 ^o   =   6 / Ö2  ,  A _y   =   6 sin 45 ^o     = 6 / Ö2   

  
Also: B _x   =   B cos q ,   B _y   =   B  sin q
  
Whence:

B _x   =   8   cos 135 ^o   =   - 8  / Ö2  ,  B _y   =    8  sin 135 ^o     = 8  / Ö2  

  

3) For the 3D rectangular box shown earlier, e.g.

For which: T  =  a  i   + b j   +   c k,  and assuming  sides a = 6,    b = 3, and c = 2  :

a)Find the direction cosines.

cos a   =  a /  Ö (a  ²  +  b ²  +   c  ²  )  =    6 /  Ö (6  ²  +  3 ²  +   2  ²  )

=    6 /  Ö (36   +  9   +   4   )  =  6 /  Ö 49  = 6/7 =  0.857

cos b    =  b /  Ö (a  ²  +  b ²  +   c  ²  )  =  3 / Ö (6  ²  +  3 ²  +   2  ²  ) 

=    3 /  Ö (36   +  9   +   4   )  =  3 /  Ö 49  = 3 /7 =  0.429

cos  g   =  b /  Ö (a  ²  +  b ²  +   c  ²  ) =   2 /  Ö (6  ²  +  3 ²  +   2  ²  )

=    2 /  Ö (36   +  9   +   4   )  =  2 /  Ö 49  = 2 /7 =  0.286

b) Show that:  cos ²  a   +    cos ²  b    + cos ²  g   =     1

I.e.

 (0.857) ²  +   (0.429)²   +  ( 0.286)²   =     1