Solution To Laplace Transform Differential Equation

The problem again:

Use Laplace transforms to solve the differential equation:

d ³ Y/ dt ³ -    d Y /dt   =   0 

Using the conditions:  Y(0) =  1,  Y’(0) =  0  and  Y" (0) = 1

Solution:  We Write:

£ { d ³ Y/ dt ³  } =  s ³   y(s)  -   Y(0) s ²    -    Y'(0) s  -  Y"(0)


=    s ³  y(s)  -   s ²    -   1   


£ {dY / dt}   =    s y(s)   -  Y(0)  - Y"(0)



=    s y(s) -  1   


Substitute the expression for each transform:

s ³  y(s)  -   s ²    - 1   =   0 


Collect like terms and transpose:

  (s ³  -     s)  y(s)   =      s ²    +  1  

 
Solve for y(s):

y(s)   =   ( s ²    +  1  ) /  (s ³  -     s)  =    ( s ²    +  1  ) /  s (  s ²    -  1   ) 

Use  of partial fractions yields:

A/ s   +    B/ (  s ²    -  1   )     =   s ²    +  1  

Then:


 A (  s ²    -  1   )   +  Bs   =   s ²    +  1  

Whence:

A s ²     -  A    +  B s    =   s ²   +   1


Yielding values (by equating coefficients):

A    = 1   

B   -     A   =  0 

So:  B  =    1



è


( s ²    +  1  ) /  s (  s ²    -  1   )  =

 1 / s     +   1 /  ( s ²    -  1   )


We then need to take the inverse Laplace transform : 

 £ ^-1  [1 / s     +   1 /  ( s ²    -  1   ) ]

=  

£ ^-1  [1 / s ]    + £ ^-1 [ 1 /  ( s ²    -  1   )]   


From a table of transforms (see bottom of previous post from  March 2nd):

We see:   1/s   is inverse transformed to  1

And similarly:  [ 1 /  ( s ²    -  1   )]  ->   cosh (t)

 
Then the solution to the DE is:  Y (t)   =   1   +    cosh (t)


Check soln.  to  d ³ Y/ dt ³ -    d Y /dt   =   0 :


d ³  (1+ cosh (t))/ dt ³   =   0 
  

d  (1   +    cosh (t))/dt   =   0 

Then:   0   -  0  =  0

So: 

d ³ Y/ dt ³ -    d Y /dt   =   0