Solutions to Tensor Problems - Pt. (2)

1) For the example problem given, use the remaining two eigenvalues, l2 and l3, to diagonaliize the matrix and obtain solutions in c _x, c _y and c _z.

Solution:

Using  the eigenvalue l2  = 5 we arrive at:

For which:

c _y = c _z / Ö 2    and   c = 0 e₁^  -  c _z / Ö 2    e₂^ + c _z  e₃^

Whence:

(c _z  ² / 2  +  c _z  ²)  = 1    Þ   c _z   =  Ö (2/ 3)

Further: 

e₂^’  = 1/Ö 2   (Ö (2/ 3)) e₂^”  +  Ö (2/ 3) e₃^”  =


 1/ /Ö 3   e₂^”  + Ö (2/ 3) e₃^” 

For  the eigenvalue  l3  =  14:

We arrive at:

Yielding:   c _y = -  Ö 2 c _z   and   c _z    =  1/ Ö 3

Þ   c   = 

Ö 2  c _z   e₂’’’   +  c _z   e₃^”’  =  -Ö (2/ 3) e₃^”  + Ö (1/ 3) e₃^” 

2) Thereby obtain the principal axes in terms of: 

e^’_x,        e ^’_y and e^’ _z .

Solution:

Note conversions between primed and unprimed systems:

  e _j =  å³ _{i= 1}   a _{i j}   e _j ’ and:  e _i’ =  å³ _{j= 1}   a _{i j}   e _j

Then:

e _x^”    =  - 1/ Ö 2 e ₁   - 1/ Ö 2 e ₂   

So: 

e _x^’    =  e _x^”    =  1/ Ö 2 e ₁   - 1/ Ö 2 e ₂    + 0

Similarly:  

e _y^”    =   1/ Ö 2 e^ ₁   +   1/ Ö 2 e^ ₂    + 0

And:  e _z^”    =   e^ ₃     Þ   e _y^’ = 

1/ Ö 3 (1/ Ö 2) e^ ₁   +  1/ Ö 3 (1/ Ö 2) e^ ₂  +   Ö (2/ 3) e₃^ 

=   e^ ₁   / Ö 6   +   e^ ₂   / Ö 6   +   2 e^ ₃  / Ö 6  

And:  e _z^’    =  

 - 1/ Ö 3  (e^ ₁ ) - 1/ Ö 3  (e^ ₂)   + 1/ Ö 3  (e^₃)  

The Principal axes are: e _x^’ ,    e _y^’   and  e _z^’