Solutions to More Difficult Complex Integrals

1)  Evaluate:   

 

∫_o ^2p   dq / (37  -  12 cos q)  for  ÷ z ÷ < 6

 

Again: cos q  =  [exp(iq) + exp (-iq)]/ 2

 

 

But z =  exp (iq)  so that:  cos q  =   z + z ^-1/ z

 

And dz =  iexp(i q )  dq =   iz dq so that:  dq  = dz/ iz

 

Then:

 

∫_o ^2p   dq / (37  -  12 cos q)  = 


 ò _C   dz/ iz /[ 37 -   12 (z + z ^-1/ z) ]

 

=  ò _C   dz/ iz / [ 37 -   6 (z + z ^-1) ]

 

=    ò _C   dz / 37 -   6 (z + z ^-1/ z)  iz =  


1/i ò _C   dz / 37z -   6 z² – 6

 

Solve the quadratic (in denominator) to obtain the poles:

 

-        6 z²  + 37z  - 6 = 0

 

Factors to yield: (-6z + 1)(z – 6) = 0

 

Therefore: z = 1/6 and z = 6

 

Both poles are simple and also acceptable for the condition. Since both poles are simple we can use:

 

Res [f(z)] _{z ®  z o}    =    [p(z)/ q’(z)] _{z ®  z o}

For which p(z) = 1 and q’(z) = -12z + 37

 

Res [f(z)] _z ®  1/6    =     [1 / -12 (1/6) + 37]

 

=  1/ (-2 + 37) = 1/35

And:

 

  ò _C   f(z)   dz = 1/i [2 pi  c _{- 1}  ]   =   2 p/ 35

 

\   ∫_o ^2p   dq / (37  -  12 cos q)   =  2 p/ 35

 

For z = 6:

 

Res [f(z)] _{z =  6}     =    [1 / -12 (6) + 37] = 

 

1/ (-72 + 37) = -  1/35

 

So that:

 

  ò _C   f(z)   dz =  -1/i [2 pi  c _{- 1}  ]   =   - 2 p/ 35

 

2)  Evaluate:

 

∫_o ^2p   dq / (13 -   5 sin q)     for  ÷ z ÷ < i

 

Here:   sin  q  =  [exp(iq) -  exp (-iq)]/ 2i

 

But z =  exp (iq)  so that:  sin  q  =    1/ 2i  (z + z ^-1) 

 

And dz =  iexp(i q )  dq =   iz dq so that:  dq  = dz/ iz

Rewrite the integral in terms of complex variable z:

 

∫_o ^2p   dq / (13 -   5 sin q)     = 


ò _C   dz/ iz / [ 13 -   5/ 2i (z + z ^-1) ]

 

=  ò _C   dz /  [13 -   5/ 2i (z + 1/ z) iz]

=  ò _C   2 dz /  (-   5 z²  +   26i z +  5)

 

Solve for the complex quadratic in denominator to get:

 

(5z – i) (-z + 5i) = 0

 

There is only one relevant pole here, which is z = i/5.     The other doesn’t meet the condition ÷ z ÷ < i

 

Res [f(z)] _{z ®  z o}    =    [p(z)/ q’(z)] _{z =  i /5}

 

=  [2/  (-10z  + 26i)]

 

 =     2/ (-10 (i/5) + 26i) = 2/  (-2i + 26i) = 2/ 24i  = 1/12i

 

Then:

  ò _C   f(z)   dz =    [2 pi  c _{- 1}  ]   =    2 pi  ( 1/12i) 


=   2 p/ 12 =  p/ 6 

 

Therefore:

 

∫_o ^2p   dq / (13 -   5 sin q)      =  p/ 6